Задания с параметром, содержащие модуль

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Пусть

Уравнение примет вид:

По теореме Виета

или

Итак, исходное уравнение равносильно совокупности:

Будем работать в системе координат
Рассмотрим случаи:

Ответ:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых

система уравнений имеет более двух решений.

Рассмотрим первую строку системы.
Нули первого модуля: нули второго модуля: Нули модулей задают границы зон, в каждой из образовавшихся зон свое распределение знаков подмодульных выражений. Зоны с одинаковыми знаками выделены одним цветом (см. первый рис.). Знаки красного цвета относятся к первому модулю, зеленого — ко второму.
Желтая зона

Голубая зона

Сиреневая зона

Белая зона

Множество точек красного цвета (см. второй рис.) задают первую строку системы.
Вторая строка системы — семейство параллельных прямых (под углом градусов к оси
Заметим, касание и как несложно проверить, происходит в точке Для и  — в точке То есть в точках вне зон существования кусков парабол.
Становится видно, что исходная система имеет более двух решений, если
Ответ:

Найдите все значения параметра при каждом из которых

система уравнений имеет различных решения.

Рассмотрим первую строку системы:

(при условии или

Множество

в зоне есть

в зоне есть

в зоне есть

Вторая строка системы — семейство параллельных прямых под углом градусов к оси
Заметим, пересекается с в точке А прямая проходит через указанную точку при
Заметим, пересекается с в точке А прямая проходит через указанную точку при
Прямая проходит через точку при
Становится видно, что система имеет ровно два решения, если
Ответ:

При каких значениях параметра уравнение

имеет ровно различных решения?

Исходное уравнение равносильно системе:

Распишем первую строку системы согласно определению модуля:

Построим полученное множество точек в системе координат при условии
Ограничение (множество точек параболы) «выкалывает» на ломаной четыре точки: Становится видно, что два решения исходная система будет иметь при

Ответ:

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет четыре различных корня.

Если то уравнение не имеет решений.
В противном случае ( ) исходное уравнение равносильно совокупности:

Итак, при
Выделяем полные квадраты в левых частях уравнений совокупности.
Имеем:

Первая окружность имеет центр радиус

Вторая окружность имеет центр радиус

Берем от окружностей лишь те части (дуги), что вошли в зону

Заметим, окружности пересекаются в точках Прямая проходит через эти точки.

Множество точек уравнения (две большие дуги окружностей с общими точками ) показаны на рисунке коричневым цветом.
Видим, что при различных наше объединение двух коричневых дуг будет пересекаться горизонтальной прямой в четырех точках только в двух зонах, помеченных на рисунке зеленым цветом.
Несложно понять, что поскольку радиус малой окружности а ордината центра то значение отвечающее за верхнюю границу верхней зоны (см. рис.) — это Значение отвечающее за нижнюю границу нижней зоны (см. рис.) — это Также видно, то внутренние границы зеленых зон отвечают значениям равным
Итак, при исходное уравнение имеет четыре решения.
Ответ: .

Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня

Уравнение равносильно следующей совокупности:

Далее,

Выделяем полные квадраты в уравнениях:

Работаем в системе координат

В зоне строим окружность с центром радиусом

В зоне строим окружность с центром радиусом

будет иметь длину гипотенуза треугольника с катетами

Заметим, прямая ось симметрии для множества точек, задающего исходное уравнение.

Точки пересечения окружностей —

Используя построения, понимаем, что исходное уравнение будет иметь два корня при

Ответ:

Найдите все значения параметра при которых система уравнений

Имеет более двух решений.

Рассмотрим первую строку системы:

Видим, что первое уравнение системы задает объединение дуг окружностей с радиусом и центрами в точках
Прямая ось симметрии дуг . Окружности пересекаются в точках

Вторая строка исходной системы задает семейство параллельных прямых Каждая прямая семейства перпендикулярна прямой так как произведение угловых коэффициентов прямых равно
Таким образом, если прямая касается одной из окружностей, то автоматически она касается и второй.

Найдем отвечающее за касание и окружности

необходимо, чтобы для

Имеем:

тогда

Найдем отвечающее за прохождение прямой через точку А:

Найдем отвечающее за прохождение прямой через точку В:

Нас устраивают те значения что отвечают за расположение прямой в зонах, помеченных на рисунке зеленым цветом.
Итак,
Ответ: